Question

已知拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），頂點(diǎn)為（-1，1）．
（1）確定拋物線的解析式．
（2）直線y=-3與拋物線相交于B，C兩點(diǎn)（B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)），以BC為一邊，原點(diǎn)O為另一頂點(diǎn)作平行四邊形，設(shè)平行四邊形的面積為S，求S的值．
（3）若以（2）小題中BC為一邊，拋物線上的任一點(diǎn)P為另一項(xiàng)點(diǎn)作平行四邊形，當(dāng)平行四邊形面積為8時(shí)，試確定P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）當(dāng)-4≤x≤2時(shí)，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出；若無，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A與頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)行計(jì)算求出a、b的值，然后即可得解；
（2）聯(lián)立直線y=-3與拋物線解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后求出BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）先根據(jù)平行四邊形的面積求出點(diǎn)P到BC的距離，然后求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析進(jìn)行計(jì)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得解；
（4）根據(jù)拋物線解析式設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²-2x），然后分①點(diǎn)P在BC邊的上方時(shí)，表示出點(diǎn)P到BC的距離，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出距離的最大值，②點(diǎn)P在BC的下方時(shí)，表示出點(diǎn)P到BC的距離，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出距離的最大值，然后二者比較，從而得解．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），頂點(diǎn)為（-1，1），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x；

（2）聯(lián)立，
解得，，
∵B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)，
∴點(diǎn)B（-3，-3），C（1，-3），
∴BC=1-（-3）=1+3=4，
又∵平行四邊形以BC為一邊，原點(diǎn)O為另一頂點(diǎn)，
∴S=4×3=12；

（3）設(shè)點(diǎn)P到BC的距離為h，
則BC•h=8，
即4h=8，
解得h=2，
①當(dāng)點(diǎn)P在BC的上方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3+2=-1，
此時(shí)，-x²-2x=-1，
整理得，x²+2x-1=0，
解得x₁=-1-，x₂=-1+，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1-，-1）或（-1+，-1），
②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3-2=-5，
此時(shí)，-x²-2x=-5，
整理得，x²+2x-5=0，
解得x₁=-1-，x₂=-1+，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1-，-5）或（-1+，-5）；
綜上所述，平行四邊形面積為8時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1-，-1）或（-1+，-1）或（-1-，-5）或（-1+，-5）；

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²-2x），
①點(diǎn)P在BC邊的上方時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離為-x²-2x-（-3）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∵點(diǎn)B（-3，-3），C（1，-3），
∴x的取值范圍為-3＜x＜1，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，距離有最大值，為4，
②點(diǎn)P在BC的下方時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離為-3-（-x²-2x）=x²+2x-3=（x+1）²-3，
∵點(diǎn)B（-3，-3），C（1，-3），
∴在-4≤x≤2范圍內(nèi)，x的取值范圍為-4≤x＜3或1＜x≤2，
∴當(dāng)x=-4或x=2時(shí)，距離有最大值，為（-4+1）²-3=5，
∵5＞4，
∴當(dāng)點(diǎn)P在BC的下方時(shí)，在-4≤x≤2范圍內(nèi)，平行四邊形的面積有最大值，
最大值為：4×5=20，
此時(shí)，-x²-2x=-（-4）²-2×（-4）=-16+8=-8，
-x²-2x=-2²-2×2=-4-4=-8，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-8）或（2，-8），
故，存在點(diǎn)P（-4，-8）或（2，-8），使在-4≤x≤2范圍內(nèi)，平行四邊形的面積有最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的面積，二次函數(shù)的最值問題，難點(diǎn)在于（3）（4）兩題要分情況進(jìn)行討論求解．