Question

①如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，對角線AC⊥BD，垂足為O．若CD=3，AB=5，則AC的長為

4

2

．
②如圖2，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，則等腰梯形ABCD的面積為

18

cm²．
③如圖3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD于點O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AD=4，BC=8，則AE+EF等于

10

．

Answer 1

分析：①求出∠DAB=∠CBA，證△DAB≌△CBA，推出∠DBA=∠CAB=45°，求出OA、OB的值，同理求出OC的值即可；
②證△DAB≌△CBA，求出AC=BD，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
③過D作DM∥AC交BC的延長線于M，得出平行四邊形AEFD和平行四邊形ACMD，求出AD=CM=4，求出DF，即可求出AE．

解答：①解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△DAB和△CBA中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=AB

，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴∠DBA=∠CAB，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴OA=OB，
同理OD=OC，
設(shè)OA=OB=a，在△AOB中，AB=5，由勾股定理得：a²+a²=5²，
a=

5 2

2

，
OA=OB=

5 2

2

，
同理OC=OD=

3 2

2

，
∴AC=OA+OC=

3 2

2

+

5 2

2

=4

2

，
故答案為：4

2

．

②解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△DAB和△CBA中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=AB

，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴AC=BD=6cm，
∴梯形ABCD的面積是S_△ABD+S_△CBD
=

1

2

×BD×OA+

1

2

×BD×OC
=

1

2

×BD×（OA+OC）
=

1

2

×BD×AC
=18（cm²），
故答案為：18．

③解：過D作DM∥AC交BC的延長線于M，
∵AD∥BC，DM∥AC，
∴四邊形ACMD是平行四邊形，
∴AD=CM=4，AC=DM，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AD=EF=4，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠ADC=∠BCD，
在△ABC和△DCB中，
∵

AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=BC

，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=BD，
∴BD=DM，
∵DM∥AC，AC⊥BD，
∴∠MDB=90°，
∵DF⊥BM，BD=DM，
∴BF=FM，
∴DF=

1

2

BM=

1

2

×（4+8）=6，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AF∥DF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AE=DF=6，
∴AE+EF=6+4=10，
故答案為：10．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理等知識點的綜合運用，題目都比較好，綜合性比較強．