Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點P的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)），則點P₂₀₁₁的坐標(biāo)為（ ）

A．（-2²⁰¹¹，0）
B．
C．（0，-2²⁰¹¹）
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)伸長的變化規(guī)律求出OP₂₀₁₁的長度，再根據(jù)每8次變化為一個循環(huán)組，求出點P₂₀₁₁是第幾組第幾次的變化，然后確定出所在的象限，再根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍解答即可．
解答：解：由題意可得，OP=1，OP₁=2×1=2，
OP₂=2×2=2²，
OP₃=2×2²=2³，
OP₄=2×2³=2⁴，
…
OP₂₀₁₁=2×2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹，
∵每一次都旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°=8，
∴每8次變化為一個循環(huán)組，
2011÷8=251…3，
∴點P₂₀₁₁是第252組的第三次變換對應(yīng)的點，與點P₃在同一象限，都在第二象限的平分線上，
∵×2²⁰¹¹=•2²⁰¹⁰，
∴點P₂₀₁₁的坐標(biāo)為（-•2²⁰¹⁰，•2²⁰¹⁰）．
故選D．
點評：本題考查了點的坐標(biāo)的規(guī)律探尋，讀懂題意，需要從伸長的變化規(guī)律求出OP₂₀₁₁的長度，從旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律求出點P₂₀₁₁所在的象限兩個方面考慮求解．