Question

設關于x一次函數(shù)y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂，我們稱函數(shù)y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）為這兩個函數(shù)的生成函數(shù)．
（1）請你任意寫出一個y=x+1與y=3x﹣1的生成函數(shù)的解析式；
（2）當x=c時，求y=x+c與y=3x﹣c的生成函數(shù)的函數(shù)值；
（3）若函數(shù)y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象的交點為P（a，5），當a₁b₁=a₂b₂=1時，求代數(shù)式m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na的值．

Answer 1

解：（1）答案不唯一．比如取m=2時，n=﹣1．生成函數(shù)為y=2（x+1）﹣（3x﹣1）=﹣x+3，即y=﹣x+3．
（2）當x=c時，y=m（x+c）+n（3x﹣c）=2c（m+n）．
∵m+n=1，
∴y=2c（m+n）=2c．
（3）∵點 P （a，5）在y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象上，
∴a₁a+b₁=5，a₂a+b₂=5．
∴a₁²a²+b₁²=（ a₁a+b₁）²﹣2 aa₁b₁=5²﹣2 aa₁b₁，a₂²a²+b₂²=（a₂a+b₂）²﹣2aa²b²=5²﹣2aa²b²．當 a₁b₁=a₂b₂=1時， m（a₁²a²+b₁²）+n （a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=m （5²﹣2a ）+n（5²﹣2a）+2ma+2na=25（m+n）．
∵m+n=1，
∴m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=25（m+n）=25．