(2008•銅仁地區(qū))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),⊙M是△ABC的外接圓,M為圓心.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求陰影部分的面積;
(3)在x軸的正半軸上有一點(diǎn)P,作PQ⊥x軸交BC于Q,設(shè)PQ=k,△CPQ的面積為S,求S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.

【答案】分析:(1)已知了A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)要求扇形的面積需要知道半徑的長和扇形的圓心角的度數(shù),先求圓心角∠AMC的度數(shù),由于OB=OC,因此∠ABC=45°,根據(jù)圓周角定理可得出∠AMC=90°.再求半徑,由于三角形AMC是等腰直角三角形,因此半徑的平方等于AC的平方的一半,可在直角三角形OAC中求出AC的平方,據(jù)此可根據(jù)扇形的面積公式求出扇形的面積.
(3)求三角形CPQ的面積可以PQ為底,以O(shè)P為高,已知了PQ=k,在等腰直角三角形BPQ中,BP=PQ=k,也就能表示長OP的長,據(jù)此可求出S與k的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值.
解答:解:(1)由拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(4,0),
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x-4),
將C(0,-4)代入上式中,得-4a=-4,a=1.
∴y=(x+1)(x-4)=x2-3x-4.

(2)∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-4).
∴OB=OC=4,OA=1
∴∠OBC=45°,∴∠AMC=90°
∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17
∴AM2=CM2=
∴S陰影==π.

(3)∠OBC=45°,PQ⊥x軸;
∴BP=PQ=k,
∴S=k•(4-k)=-k2+2k.
∴當(dāng)k=2時(shí),Smax=2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、扇形面積計(jì)算公式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).
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(2)求陰影部分的面積;
(3)在x軸的正半軸上有一點(diǎn)P,作PQ⊥x軸交BC于Q,設(shè)PQ=k,△CPQ的面積為S,求S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.

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