Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE、BC的延長線交于點F，若AE=10，則S_△ADE+S_△CEF的值是

 

．

Answer 1

分析：過B點作BG⊥AD交DA的延長線于G，得四邊形BCDG為正方形，利用旋轉(zhuǎn)法將Rt△BCE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BGE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及已知條件可證△ABE′≌△ABE，設(shè)CE=x，用含x的代數(shù)式表示△ADE的三邊，在Rt△ADE中，由勾股定理求x，再由三角形面積公式及△CEF∽△DEA，可求S_△ADE，S_△CEF．

解答：解：過B點作BG⊥AD交DA的延長線于G，得四邊形BCDG為正方形，
又把Rt△BCE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BGE′，
則BE′=BE且∠EBE′=90°，
∵∠ABE=45°，AB=AB，
∴△ABE′≌△ABE，
∴AE′=AE=10，設(shè)CE=x，
則AG=10-x，DE=12-x，AD=DG-AG=x+2，
在Rt△ADE中，由（12-x）²+（x+2）²=10²，得x=4或x=6．
∵AD∥CF，
∴△CEF∽△DEA，

S△CEF

S△DEA

=(

CE

DE

)2=（

x

12-x

）²；
又S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

1

2

（x+2）（12-x），
∴S_△CEF=

x2(x+2)

2(12-x)

，
當x=4時，S_△ADE=24，S_△CEF=6，故S_△ADE+S_△CEF=30，
當x=6時，S_△ADE=24，S_△CEF=24，故S_△ADE+S_△CEF=48．
故本題答案為：30或48．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)法解決面積計算的方法．關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，相似三角形，確定線段的關(guān)系，充分運用勾股定理求未知數(shù)．