精英家教網(wǎng)在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)y=a(x-1)2+k的圖象與x軸相交于點A,B,頂點為C,點D在這個二次函數(shù)圖象的對稱軸上.若四邊形ACBD是一個邊長為2且有一個內(nèi)角為60°的菱形.求此二次函數(shù)的表達式.
分析:根據(jù)題意,畫出圖形,可得以下四種情況:
(1)以菱形長對角線兩頂點作為A、B,且拋物線開口向上;
(2)以菱形長對角線兩頂點作為A、B,且拋物線開口向下;
(3)以菱形短對角線兩頂點作為A、B,且拋物線開口向上;
(4)以菱形短對角線兩頂點作為A、B,且拋物線開口向下,
解答時都利用四邊形ACBD是一個邊長為2且有一個內(nèi)角為60°的條件根據(jù)解直角三角形的相關(guān)知識解答.
解答:解:本題共有4種情況.
設(shè)二次函數(shù)的圖象的對稱軸與x軸相交于點E.
(1)如圖①,
當∠CAD=60°時,
因為ACBD是菱形,一邊長為2,
所以DE=1,BE=
3
,(1分)
所以點D的坐標(1,1),點C的坐標為(1,-1),
解得k=-1,a=
1
3

所以y=
1
3
(x-1)2-1.(2分)
精英家教網(wǎng)

(2)如圖②,當∠ACB=60°時,由菱形性質(zhì)知點A的坐標為(0,0),點C的坐標為(1,-
3
).
解得k=-
3
,a=
3
,
所以y=
3
(x-1)2-
3
.(4分)
同理可得:y=-
1
3
(x-1)2+1,y=-
3
(x-1)2+
3
.(8分)
所以符合條件的二次函數(shù)的表達式有:y=
1
3
(x-1)2-1,y=
3
(x-1)2-
3
,
y=-
1
3
(x-1)2+1,y=-
3
(x-1)2+
3
點評:解答此題不僅要熟知二次函數(shù)的性質(zhì),還要熟悉菱形的性質(zhì),結(jié)合二次函數(shù)圖上點的特點,根據(jù)解直角三角形的知識,求出相應(yīng)的邊長,得到B、C的坐標,代入解析式求出a的值即可.
練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標系中,有A(2,3)、B(3,2)兩點.
(1)請再添加一點C,求出圖象經(jīng)過A、B、C三點的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問,考慮有沒有更簡捷的解題策略?請說出你的理由.

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如圖,在平面直角坐標系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點,D是拋物線的頂點,O為精英家教網(wǎng)坐標原點.A、B兩點的橫坐標分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點C,求點C的坐標及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點P,使△APC的面積最大?如果存在,請求出點P的坐標和△APC的最大面積;如果不存在,請說明理由.

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18、在平面直角坐標系中,把一個圖形先繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點為位似中心,相似比為k得到一個新的圖形,我們把這個過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點為位似中心,相似比為2得到一個新的圖形△A1B1C1,可以把這個過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點坐標分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點M的對應(yīng)點M′的坐標為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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