Question

在等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE，AE交DC的延長線于點(diǎn)F，AG⊥CD，垂足為G．
求證：（1）△ACE≌△CBD；（2）AF=2FG．

Answer 1

解：（1）∵等邊三角形各邊長相等、各內(nèi)角為60°，
∴∠ACE=∠CBD，
又∵AC=CB，BD=CE，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠ACD=∠CAF+∠AFC，∠ACD=∠BCD+∠ACB，
∴∠AFC=60°，
∴∠FAG=90°-60°=30°，
∴AF=2FG．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形各邊長相等、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)可以求得∠ACE=∠CBD，即可求得△ACE≌△CBD；
（2）由（1）得∠CAE=∠BCD，再根據(jù)∠ACD=∠CAF+∠AFC，∠ACD=∠BCD+∠ACB，即可求得∠AFC=60°，即∠FAG=30°，∴AF=2FG．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形各邊長相等、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得AF=2FG的值是解題的關(guān)鍵．