Question

閱讀材料，大數(shù)學家高斯在上學讀書時曾經(jīng)研究過這樣一個問題：1+2+3+…+100=？經(jīng)過研究，這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+4+5+…+n=，其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：
觀察下面三個特殊的等式：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1×2=（1×2×3-0×1×2）
2×3=（2×3×4-1×2×3）
3×4=（3×4×5-2×3×4）
將這三個等式的兩邊分別相加，可以得到1×+2×3+3×4=×3×4×5=20
讀完這段材料，請你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+…+100×101=______．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=______．
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．
（只需寫出結(jié)果，不必寫中間的過程）

Answer 1

解：∵1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20，即1×2+2×3+3×4=×3×（3+1）×（3+2）=20
∴（1）原式=×100×（100+1）×（100+2）=×100×101×102；
（2）原式=n（n+1）（n+2）；
（3）原式=n（n+1）（n+2）（n+3）．
分析：此類題根據(jù)題目中提供的方法進行變形替換，再提取公因式，剩下括號內(nèi)的項達到抵消的目的，從而簡便計算．
點評：能從材料中獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本能力．
要注意：連續(xù)的整數(shù)相乘的進一步變形，即n（n+1）=[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；
n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．