Question

如圖，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內接菱形，現給出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三個命題：
命題（Ⅰ）：圖①中，若AH=BG=AB，則四邊形ABGH是矩形ABCD的內接菱形；
命題（Ⅱ）：圖②中，若點E、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內接菱形；
命題（Ⅲ）：圖③中，若EF垂直平分對角線AC，變BC于點E，交AD于點F，交AC于點O，則四邊形AECF是矩形ABCD的內接菱形．
請解決下列問題：
（1）命題（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命題嗎？請你在其中選擇一個，并證明它是真命題或假命題；
（2）畫出一個新的矩形內接菱形（即與你在（1）中所確認的，但不全等的內接菱形）．
（3）試探究比較圖①，②，③中的四邊形ABGH、EFGH、AECF的面積大小關系．

Answer 1

解：（1）都是真命題；
若選（Ⅰ）證明如下：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AH=BG，
∴四邊形ABGH是平行四邊形，
∴AB=HG，
∴AB=HG=AH=BG，
∴四邊形ABGH是菱形；
若選（Ⅱ），證明如下：
∵矩形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F、G、H是中點，
∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形；
若選（Ⅲ），證明如下
∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，EA=EC，
又∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△ADF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）如圖4所示：AH=CF，EG垂直平分對角線FH，四邊形HEFG是菱形；


（3）S_ABGH=a² ，
S_EFGH=ab，
S_菱形AECF=，
∵-a²==＞0（b＞a）
∴S_菱形AECF＞S_ABGH．
∵-ab===＞0，
∴S_菱形AECF＞S_EFGH．
∵a² -ab=a（a-b）
∴當a＞b，即0＜b＜2a時，S_菱形ABGH＞S_菱形EFGH；
當a=b，即b=2a時，S_菱形ABGH=S_菱形EFGH；
當a＜b，即b＞a時，S_菱形ABGH＜S_菱形EFGH．
綜上所述：
當O＜b＜2a時，S_菱形EFGH＜S_菱形ABGH＜S_菱形AECF．
當b=2a時，S_菱形EFGH=S_菱形ABGH＜S_菱形AECF．
當b＞2a時 S_菱形ABGH＜S_菱形EFGH＜S_菱形AECF．

分析：（1）①先證明是平行四邊形，再根據一組鄰邊相等證明；
②根據三角形中位線定理得到四條邊都相等；
③先根據三角形全等證明是平行四邊形，再根據對角線互相垂直證明是菱形；
（2）先作一條對角線，在作出它的垂直平分線分別與矩形的邊相交，連接四個交點即可．
（3）分別表示出三個菱形的面積，根據邊的關系即可得出圖（1）圖（2）的面積都小于圖（3）的面積；根據a與b的大小關系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三種情況討論．
點評：本題主要考查了菱形的判定與性質，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質以及矩形的性質等知識點．注意第（3）題需要分類討論，以防錯解．