Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂交于點(diǎn)A，B，延長(zhǎng)⊙O₂的直徑CA交⊙O₁于點(diǎn)D，延長(zhǎng)⊙O₂的弦CB交⊙O₁于點(diǎn)E．已知AC=6，AD：BC：BE=1：1：5，則DE的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

分析：連接公共弦AB，構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形ABED，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可證明△ABC∽△EDC，從而得出與AD、BC、BE有關(guān)的比例線段，根據(jù)AD：BC：BE=1：1：5，設(shè)線段長(zhǎng)度，代入比例式可求CD、CE的長(zhǎng)，在Rt△EDC中，用勾股定理求ED．

解答：解：連接AB，在圓內(nèi)接四邊形ABED中，∠BAC=∠E，∠ABC=∠EDC，
因?yàn)锳C為⊙O₂直徑，則∠ABC=90°，于是△ABC∽△EDC，
因?yàn)锳D：BC：BE=1：1：5，
所以，設(shè)AD=x，BC=x，BE=5x；
于是：

6

6x

=

x

6+x

，即6x²=36+6x，x²-x-6=0，
解得x=3，x=-2（負(fù)值設(shè)去），
在Rt△EDC中，ED=

182-92

=9

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是對(duì)圓心角和圓周角的關(guān)系，以及圓的內(nèi)接四邊形的外角和相應(yīng)的內(nèi)對(duì)角關(guān)系的應(yīng)用．解答此類題關(guān)鍵是通過(guò)角的關(guān)系，在解題中應(yīng)用中間角來(lái)尋找等量關(guān)系．