Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF．
（1）請(qǐng)說明：DE=DF；
（2）請(qǐng)說明：BE²+CF²=EF²；
（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面積（直接寫結(jié)果）．

Answer 1

（1）證明：連接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C=∠B=45°，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF．

（2）證明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE=AF，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴EF²=AE²+AF²=BE²+CF²，
即BE²+CF²=EF²．

（3）解：EF²=BE²+CF²=100，
∴EF=10，
根據(jù)勾股定理DE=DF=5，
△DEF的面積是DE×DF=×5×5=25．
答：△DEF的面積是25．
分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根據(jù)ASA證△BDE≌△ADF即可；
（2）根據(jù)AAS證△ADE≌△CDF，推出AE=CF，根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）求出EF長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出DE和DF，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是①小題構(gòu)造三角形ADF，證△BDE和△ADF全等，②小題求出CF=AE，目比較典型，但有點(diǎn)難度．