(2008•襄陽)如圖,四邊形OABC是矩形,OA=4,OC=8,將矩形OABC沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在D處,AD交OC于E.
(1)求OE的長(zhǎng);
(2)求過O,D,C三點(diǎn)拋物線的解析式;
(3)若F為過O,D,C三點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)為何值時(shí),直線PF把△FAC分成面積之比為1:3的兩部分.
【答案】分析:(1)已知四邊形OABC是矩形,證明△CDE≌△AOE推出OE2+OA2=(AD-DE)2求出OE.
(2)本題要借助輔助線的幫助,證明△DGE≌△CDE.根據(jù)線段比求出DG,EG以及點(diǎn)D的坐標(biāo).列出解析式求出a,b的值.
(3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k,b.證明△AMH∽△AOC推出m的值.
解答:解:(1)∵四邊形OABC是矩形,
∴∠CDE=∠AOE=90°,OA=BC=CD.
又∵∠CED=∠OEA,
∴△CDE≌△AOE.
∴OE=DE.
∴OE2+OA2=(AD-DE)2,
即OE2+42=(8-OE)2
解之,得OE=3.

(2)EC=8-3=5.如圖,過D作DG⊥EC于G,
∴△DGE∽△CDE.
,
∴DG=,EG=
∴D(
因O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),
故可設(shè)過O,C,D三點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax2+bx.

解之,得

(3)∵拋物線的對(duì)稱軸為x=4,
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
解之,得

設(shè)直線FP交直線AC于H(m,m-4),過H作HM⊥OA于M.
∴△AMH∽△AOC.
∴HM:OC=AH:AC.
∵S△FAH:S△FHC=1:3或3:1,
∴AH:HC=1:3或3:1,
∴HM:OC=AH:AC=1:4或3:4.
∴HM=2或6,
即m=2或6.
∴H1(2,-3),H2(6,-1).
直線FH1的解析式為y=x-
當(dāng)y=-4時(shí),x=
直線FH2的解析式為
當(dāng)y=-4時(shí),x=
∴當(dāng)t=秒或秒時(shí),
直線FP把△FAC分成面積之比為1:3的兩部分.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是相似三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.
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