Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經(jīng)過(guò)AB、CD兩邊的中點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，連接DF、AF．設(shè)菱形ABCD平移的時(shí)間為t秒（0＜t＜）
①當(dāng)t=1時(shí)，△ADF與△DEF是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②連接FC，以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時(shí)，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

（1）y=﹣x²+3
（2）①由對(duì)應(yīng)邊成比例可證得
②畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，認(rèn)真分析滿足題意要求時(shí)，需要具備什么樣的限制條件，然后根據(jù)限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關(guān)鍵

解析試題分析：解：（1）由題意得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），
CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），           2分

分別代入y=ax²+b得
，解得，，
∴y=﹣x²+3．                3分
（2）①如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=           4分
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°﹣60°=120°           5分
∵t=1,
∴B點(diǎn)為(1,0)
∴F(1,2) ,E(1,3)
∴EF=1                  6分
在Rt△DEF中
tan∠EDF=
∴∠EDF=30⁰
∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=120⁰—30⁰=90⁰
∴∠ADF=∠DEF
∴DF=2EF=2           7分
又∵,
∴
∴△ADF∽△DEF           8分
②如圖3所示，依題意作出旋轉(zhuǎn)后的三角形△FE′C′，過(guò)C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點(diǎn)M、點(diǎn)N．

觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區(qū)域內(nèi)，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3﹣t²），∴EF=3﹣（3﹣t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，
由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤．
∵C′E′=CE=，∴C′點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t﹣，
∴MN=3﹣（t﹣）²，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t²，
由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）²≥3﹣2t²，解得t≥．
∴t的取值范圍為：．           11分
考點(diǎn)：二次函數(shù)、圖形的變換、菱形的性質(zhì)、三角形相似
點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、幾何變換(平移與旋轉(zhuǎn))、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大，對(duì)考生能力要求很高．