Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，A（2，1）．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過A、O、B三點的拋物線的函數(shù)表達式；
（3）在（2）所求的拋物線上，是否存在一點P，使四邊形ABOP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥x軸于點D，則可證明△ACO≌△ODB，則可求得OD和BD的長，可求得B點坐標；
（2）根據(jù)A、B、O三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（3）由四邊形ABOP可知點P在線段AO的下方，過P作PE∥y軸交線段OA于點E，可求得直線OA解析式，設出P點坐標，則可表示出E點坐標，可表示出PE的長，進一步表示出△POA的面積，則可得到四邊形ABOP的面積，再利用二次函數(shù)的性質可求得其面積最大時P點的坐標．

解答 解：
（1）如圖1，過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥x軸于點D，

∵△AOB為等腰三角形，
∴AO=BO，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD，
在△ACO和△ODB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠OBD}\\{∠ACO=∠ODB}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∵A（2，1），
∴OD=AC=1，BD=OC=2，
∴B（-1，2）；
（2）∵拋物線過O點，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，
把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=1}\\{a-b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{7}{6}}\end{array}\right.$，
∴經過A、B、O原點的拋物線解析式為y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{7}{6}$x；
（3）∵四邊形ABOP，
∴可知點P在線段OA的下方，
過P作PE∥y軸交AO于點E，如圖2，

設直線AO解析式為y=kx，
∵A（2，1），
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直線AO解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
設P點坐標為（t，$\frac{5}{6}$t²-$\frac{7}{6}$t），則E（t，$\frac{1}{2}$t），
∴PE=$\frac{1}{2}$t-（$\frac{5}{6}$t²-$\frac{7}{6}$t）=-$\frac{5}{6}$t²+$\frac{5}{3}$t=-$\frac{5}{6}$（t-1）²+$\frac{5}{6}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$PE×2=PE═-$\frac{5}{6}$（t-1）²+$\frac{5}{6}$，
由A（2，1）可求得OA=OB=$\sqrt{5}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AO•BO=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四邊形ABOP}=S_△AOB+S_△AOP=-$\frac{5}{6}$（t-1）²+$\frac{5}{6}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{10}{3}$，
∵-$\frac{5}{6}$＜0，
∴當t=1時，四邊形ABOP的面積最大，此時P點坐標為（1，-$\frac{1}{3}$），
綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點P，其坐標為（1，-$\frac{1}{3}$）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，主要涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的面積以及方程思想等知識．在（1）中構造三角形全等是解題的關鍵，在（2）中注意待定系數(shù)法的應用，在（3）中用t表示出四邊形ABOP的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．