Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過(guò)點(diǎn)B作射線BB_l∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點(diǎn)，連結(jié)DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；
（3）以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．當(dāng)t>時(shí)，連結(jié)C ′C，則以CC´為直徑的圓何時(shí)與直線AB相切？

Answer 1

（1）1，1；（2）；（3）

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，即可求得t的值，從而求得DE的長(zhǎng)度；
（2）分①若△DEG∽△ACB，②若△DEG∽△BCA，③若△DEG∽△ACB，④若△DEG∽△BCA，四中情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）以DH為對(duì)稱軸，作出AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的A′C′，先由CD的長(zhǎng)表示出CP的長(zhǎng)，再根據(jù)對(duì)稱性表示出CC′的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB，先求得CM的長(zhǎng)，即可得到PH的長(zhǎng)，當(dāng)CC′=2PH時(shí)，以CC´為直徑的圓與直線AB相切，即可得到關(guān)于t的方程，從而求得結(jié)果.

（1）

（2）

①若△DEG∽△ACB

②若△DEG∽△BCA


③若△DEG∽△ACB

④若△DEG∽△BCA

（3）如圖所示：


點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．