Question

已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長線于點(diǎn)D．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑的長為6，CA=CD，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．欲證FD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）圖中S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC．分別求出三角形的面積和扇形的面積即可．
解答：（1）證明：連接OC；
∵OA=OC，OE⊥AC，
∴∠AOE=∠COE，∠AOE+∠ECO=90°；
又∵∠FCA=∠AOE，
∴∠FCA+∠ECO=90°，即OC⊥FC；
∵OC是⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上，
∴FD是⊙O的切線；

（2）解：連接BC；
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D，
∴∠D+∠COD=3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴∠COB=60°；
∵在Rt△OCD中，CD=OC•tan60°=6，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC=×6×6-=18-6π．
點(diǎn)評：本題利用了等邊對等角，切線的性質(zhì)及概念，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形和扇形的面積公式求解．