Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知拋物線 y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸交于A、B兩點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞1，且點A在點B的左側(cè)，OA：OB=1：3，試確定拋物線的解析式；
（3）設（2）中拋物線與y軸的交點為C，過點C作直線l∥x軸，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．請你結(jié)合新圖象回答：當直線y=

1

3

x+b與新圖象只有一個公共點P（x₀，y₀）且 y₀≤7時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線 y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸交于A、B兩點，即在解析式中令y=0，得到一個一元二次方程，這個方程有兩個不同的解，根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求解；
（2）首先求拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)OA：OB=1：3，即可得到關(guān)于m的方程，從而求解；
（3）首先求得拋物線與x軸的交點坐標，以及函數(shù)當y=7時，函數(shù)的橫坐標，則根據(jù)圖象可以得到：直線在過C的直線與過D的直線之間，或在與拋物線只有一個交點的直線的下邊，以及根的判別式即可求得m的范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸交于A、B兩點，
∴

m-1≠0 △=(m-2)2+4(m-1)＞0.

由①得m≠1，
由②得m≠0，
∴m的取值范圍是m≠0且m≠1．   
（2）∵點A、B是拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸的交點，
∴令y=0，即 （m-1）x²+（m-2）x-1=0．
解得 x₁=-1，x2=

1

m-1

．
∵m＞1，
∴

1

m-1

＞0＞-1．
∵點A在點B左側(cè)，
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為(

1

m-1

，0)．
∴OA=1，OB=

1

m-1

．
∵OA：OB=1：3，
∴

1

m-1

=3．
∴m=

4

3

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x2-

2

3

x-1．   
（3）∵點C是拋物線y=

1

3

x2-

2

3

x-1與y軸的交點，
∴點C的坐標為（0，-1）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
令y=7，即 

1

3

x2-

2

3

x-1=7．
解得x₁=6，x₂=-4．
∴新圖象經(jīng)過點D（6，7）．
當直線y=

1

3

x+b經(jīng)過D點時，可得b=5．
當直線y=

1

3

x+b經(jīng)過C點時，可得b=-1．
當直線y=

1

3

x+b(b＜-1)與函數(shù)y=

1

3

x2-

2

3

x-1(x＞0)
的圖象僅有一個公共點P（x₀，y₀）時，得

1

3

x0+b=

1

3

x

2 0

-

2

3

x0-1．
整理得 

x

2 0

-3x0-3b-3=0．
由△=（-3）²-4（-3b-3）=12b+21=0，得b=-

7

4

．
結(jié)合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為-1＜b≤5或b＜-

7

4

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．