Question

試證明：在數(shù)2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一個數(shù)能被n整除，這里n是大于1的奇數(shù)．

Answer 1

∵n是大于1的奇數(shù)，
∴設n=2k+1（k是不等于0的自然數(shù)），
∴2^n-1-1=2^2k-1=（2^k-1）（2^k+1），
∴當2^k-1=2k+1或2^k=2k時，2^n-1-1是n的倍數(shù)，
當k=3時，2^k-1=7，2k+1=7，故2^n-1-1是n的倍數(shù)成立，
當k=2時，2^k+1=5，2k+1=5，故2^n-1-1是n的倍數(shù)成立．
綜上所述，在數(shù)2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一個數(shù)能被n整除．