【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.點P是AB邊上任意一點,直線PE⊥AB,與邊AC或BC相交于E.點M在線段AP上,點N在線段BP上,EM=EN,sin∠EMP=

(1)如圖1,當(dāng)點E與點C重合時,求CM的長;
(2)如圖2,當(dāng)點E在邊AC上時,點E不與點A,C重合,設(shè)AP=x,BN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;

(3)若△AME∽△ENB,求AP的長.

【答案】
(1)

解:∵∠ACB=90°,

∴AC= = =40,

∵CP⊥AB,

=

= ,

∴CP=24,

∴CM= = =26


(2)

解:∵sin∠EMP=

∴設(shè)EP=12a,

則EM=13a,PM=5a,

∵EM=EN,

∴EN=13a,PN=5a,

∵△AEP∽△ABC,

,

=

∴x=16a,

∴a=

∴BP=50﹣16a,

∴y=50﹣21a,

=50﹣21× ,

=50﹣ x,

∵當(dāng)E點與A點重合時,x=0.當(dāng)E點與C點重合時,x=32.

∴函數(shù)的定義域是:(0<x<32)


(3)

解:①當(dāng)點E在AC上時,如圖2,

設(shè)EP=12a,則EM=13a,MP=NP=5a,

∵△AEP∽△ABC,

= ,

= ,

∴AP=16a,

∴AM=11a,

∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a,

∵△AME∽△ENB,

=

= ,

∴a= ,

∴AP=16× =22,

②當(dāng)點E在BC上時,如圖(備用圖),設(shè)EP=12a,則EM=13a,MP=NP=5a,

∵△EBP∽△ABC,

= ,

= ,

解得BP=9a,

∴BN=9a﹣5a=4a,AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a,

∵△AME∽△ENB,

= ,

= ,

解得a=

∴AP=50﹣9a=50﹣9× =42.

所以AP的長為:22或42.


【解析】((1)本題需先根據(jù)已知條件得出AC的值,再根據(jù)CP⊥AB求出CP,從而得出CM的值.(2)本題需先根據(jù)EN,根據(jù)sin∠EMP= ,設(shè)出EP的值,從而得出EM和PM的值,再得出△AEP∽△ABC,即可求出 = ,求出a的值,即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并且能求出函數(shù)的定義域.(3)本題需先設(shè)EP的值,得出則EM和MP的值,然后分①點E在AC上時,根據(jù)△AEP∽△ABC,求出AP的值,從而得出AM和BN的值,再根據(jù)△AME∽△ENB,求出a的值,得出AP的長;②點E在BC上時,根據(jù)△EBP∽△ABCC,求出AP的值,從而得出AM和BN的值,再根據(jù)△AME∽△ENB,求出a的值,得出AP的長.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點,需要掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在RtACB中,∠ACB=90°,A=30°,點DAB邊的中點.

(1)如圖1,若CD=4,求ACB的周長.

(2)如圖2,若EAC的中點,將線段CEC為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°,使點E至點F處,連接BFCD于點M,連接DF,取DF的中點N,連接MN,求證:MN=2CM.

(3)如圖3,以C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點D至點E處,連接BECDM,連接DE,取DE的中點N,連接交MN,試猜想BD、MN、MC之間的關(guān)系,直接寫出其關(guān)系式,不證明.

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A.
B.
C.
D.

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(1)每套隊服和每個足球的價格分別是多少?

(2)若城區(qū)四校聯(lián)合購買100套隊服和a個足球,請用含a的式子分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所需的費用.

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