Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=12cm，AC是⊙O的弦，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接BC．

（1）求證：∠PCA=∠B
（2）已知∠P=40°，點Q在優(yōu)弧ABC上，從點A開始逆時針運動到點C停止（點Q與點C不重合），當△ABQ與△ABC的面積相等時，求動點Q所經(jīng)過的弧長。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠PCO=90°，

∴∠1+∠PCA=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠B=90°，

∵OC=OA，

∴∠1=∠2，

∴∠PCA=∠B；

（2）

解：∵∠P=40°，

∴∠AOC=50°，

∵AB=12，

∴AO=6，

當∠AOQ=∠AOC=50°時，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點Q所經(jīng)過的弧長==，

當∠BOQ=∠AOC=50°時，即∠AOQ=130°時，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點Q所經(jīng)過的弧長==，

當∠BOQ=50°時，即∠AOQ=230°時，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點Q所經(jīng)過的弧長==，

∴當△ABQ與△ABC的面積相等時，動點Q所經(jīng)過的弧長為或或．

【解析】（1）證明：連接OC，由PC是⊙O的切線，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠2+∠B=90°，于是得到結(jié)論；
（2）當∠AOQ=∠AOC=50°時，△ABQ與△ABC的面積相等，求得點Q所經(jīng)過的弧長==，當∠BOQ=∠AOC=50°時，即∠AOQ=130°時，△ABQ與△ABC的面積相等，求得點Q所經(jīng)過的弧長==，當∠BOQ=50°時，即∠AOQ=230°時，△ABQ與△ABC的面積相等，
∴點Q所經(jīng)過的弧長==
此題考查了圓的應用，包括切線的性質(zhì)和弧長的計算。注意分情況討論，熟練掌握弧長公式。