Question

（2013•煙臺(tái)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，E為

AD

上一點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，BE交AC于點(diǎn)F，且AE²=EF•EB．
（1）求證：CB=CF；
（2）若點(diǎn)E到弦AD的距離為1，cos∠C=

3

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）如圖1，通過相似三角形（△AEF∽△AEB）的對應(yīng)角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、對頂角相等證得∠2=∠3；最后根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OE交AC于點(diǎn)G，設(shè)⊙O的半徑是r．根據(jù)（1）中的相似三角形的性質(zhì)證得∠4=∠5，所以由“圓周角、弧、弦間的關(guān)系”推知點(diǎn)E是弧AD的中點(diǎn)，則OE⊥AD；然后通過解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO=

r-1

r

=

3

5

，則以求r的值．

解答：（1）證明：如圖1，
∵AE²=EF•EB，
∴

AE

EB

=

EF

AE

．
又∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；

（2）解：如圖2，連接OE交AC于點(diǎn)G，設(shè)⊙O的半徑是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，則∠4=∠5．
∴

AE

=

ED

．
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=

3

5

，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=

3

5

，
∴

OG

OA

=

3

5

，即

r-1

r

=

3

5

，
解得，r=

5

2

，即⊙O的半徑是

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（2）題的難點(diǎn)是推知點(diǎn)E是弧AD的中點(diǎn)．