Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合．連接CP，過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，△OCP為等腰三角形，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，使得∠CPD=∠OAB，且，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得QB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得OQ的長(zhǎng)；即可得B的坐標(biāo)；
（2）分點(diǎn)P在x正半軸上與x負(fù)半軸上上兩種情況討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可得OP、OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案；
（3）根據(jù)題意易得△COP∽△PAD，進(jìn)而可得比例關(guān)系，代入數(shù)據(jù)可得答案．
解答：解：（1）過B作BQ⊥OA于Q，則∠COA=∠BAQ=60°，
在Rt△BQA中，QB=ABsin60°=，
，
∴OQ=OA-QA=7-2=5．
∴B（5，）．

（2）①當(dāng)OC=OP時(shí)，若點(diǎn)P在x正半軸上，
∵∠COA=60°，△OCP為等腰三角形，
∴△OCP是等邊三角形．
∴OP=OC=CP=4．
∴P（4，0）．
若點(diǎn)P在x負(fù)半軸上，
∵∠COA=60°，
∴∠COP=120°．
∴△OCP為頂角120°的等腰三角形．
∴OP=OC=4．
∴P（-4，0）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（-4，0）．
②當(dāng)OC=CP時(shí)，由題意可得C的橫坐標(biāo)為：4×cos60°=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）
③當(dāng)OP=CP時(shí)，
∵∠COA=60°，
∴△OPC是等邊三角形，同①可得出P（4，0）．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（-4，0）．

（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OPC+∠DPA=120°．
又∵∠PDA+∠DPA=120°，
∴∠OPC=∠PDA．
∵∠COP=∠A=60°，
∴△COP∽△PAD．
∴．
∵，AB=4，
∴BD=，
AD=．
即．
∴7OP-OP²=6得OP=1或6．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道動(dòng)態(tài)幾何壓軸題，對(duì)學(xué)生的分類思想作了重點(diǎn)的考查，是一道很不錯(cuò)的題．