菱形PQRS的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA上,已知PB=15,BQ=20,PR=30,QS=40,若最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)
m
n
是矩形ABCD的周長(zhǎng),則m+n=
 
考點(diǎn):三角形邊角關(guān)系
專題:
分析:由菱形性質(zhì)知PR⊥SQ,且互相平分,這樣得到8個(gè)直角三角形,易知PR與SQ的交點(diǎn)是矩形ABCD的中心.由已知可得其中6個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為15、20、25.設(shè)AS=x、AP=y,由對(duì)稱性知CQ、CR的長(zhǎng)分別為x、y,則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長(zhǎng)分別為x、y、25,根據(jù)矩形ABCD的面積等于8個(gè)直角三角形的面積之和,列出關(guān)于x、y的方程,解得x、y,即可計(jì)算m+n的值.
解答:解:如圖,設(shè)AS=x、AP=y.
∵四邊形PQRS是菱形,
∴PR⊥SQ,且PR與SQ互相平分,
∴圖中有8個(gè)直角三角形,易知PR與SQ的交點(diǎn)是矩形ABCD的中心.
由已知可得其中6個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為15、20、25.由對(duì)稱性知CQ、CR的長(zhǎng)分別為x、y,
則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長(zhǎng)分別為x、y、25,
∵矩形面積等于8個(gè)直角三角形的面積之和,
∴(20+x)(15+y)=6×
1
2
×20×15+2×
1
2
xy,
化簡(jiǎn)整理,得3x+4y=120 ①,
又x2+y2=625 ②,
①與②聯(lián)立,解得x1=20,x2=
44
5
,
y1=15,y2=
117
5

當(dāng)x=20時(shí),BC=x+BQ=40,這與PR=30不合,
故x=
44
5
,y=
117
5

∴矩形周長(zhǎng)為2(15+20+x+y)=
672
5
,
即:m+n=672+5=677.
故答案為677.
點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形、矩形的性質(zhì),勾股定理,三角形的面積,有一定難度.根據(jù)菱形與矩形的性質(zhì)分別表示出圖中8個(gè)直角三角形的兩條直角邊是解題的關(guān)鍵.
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15
4
B、-
15
4
C、
4
15
D、-
4
15

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