Question

【題目】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P，Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求CD的長.

（2）t為何值時(shí)？四邊形PBQD為平行四邊形.

（3）在點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為20cm2？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）16；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，四邊形AMCB是矩形，AM=BC,AD是已知的，根據(jù)勾股定理求出DM,CM=AB,所以CD就求出來了；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí),點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，用t表示出BP,DQ的長，滿足BP=DQ,求出t值，則BP,DQ即可求出，然后求出CQ,用勾股定理求出BQ，四邊形PBQD的周長就求出來了；（3）D從Q到C需要8秒，所以t的范圍是0≤t≤8,Q根據(jù)P所在線段不同，分三種情況討論，即①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即時(shí)，用t表示出BP的長，列三角形BPQ的面積等于20的方程求解；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即時(shí)，用t表示出BP,CQ的長，建立三角形BPQ的面積等于20的方程求解；③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，因?yàn)樗麄兿嘤龅臅r(shí)間是，若點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即6≤t≤，用t表示出PQ的長，進(jìn)而列出面積方程式求解；若點(diǎn)P在Q的左側(cè)，即，用t表示出PQ的長，列出面積方程式求解．

試題解析：（1）過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖，由題知：AP=3t,BP=10﹣3t，DQ=2t，∴10﹣3t=2t，解得t=2，此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12，∴，∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）=；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，到B點(diǎn)時(shí)是秒，即時(shí)，如圖，BP=10﹣3t，BC=8，∴，∴．

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，P到達(dá)C點(diǎn)t值時(shí)6秒，即時(shí)，如圖，BP=AB+BP-AB=3t﹣10，DQ=2t,CQ=16﹣2t，∴，化簡得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程無實(shí)數(shù)解．此種情況不存在三角形BPQ的面積是20；

③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，P點(diǎn)與Q點(diǎn)相遇時(shí),可列2t+3t=10+8+16,t=,相遇時(shí)間是，若點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即6≤t≤，則有PQ=34-（2t+3t）=34﹣5t，于是，解此方程得：

＜6，舍去，若點(diǎn)P在Q的左側(cè)，即，則有PQ=2t+3t-34=5t﹣34，可列方程：，解得：t=7．8．∴綜合得出滿足條件的t值存在，其值分別為，t2=7．8．