Question

如圖，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C＝90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則a²＋b²＝c²，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請(qǐng)你類(lèi)比勾股定理，試猜想a²＋b²與c²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

[探究過(guò)程]若△ABC為銳角三角形，則有a2＋b2＞c2；若△ABC為鈍角三角形，且∠C為鈍角，則有a2＋b2＜c2．當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，理由如下：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥CB于D，如圖①，設(shè)CD＝x，則有DB＝a－x，根據(jù)勾股定理，得b2－x2＝c2－(a－x)2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，所以a2＋b2＝c2＋2ax，因?yàn)閍＞0，x＞0，所以a2＋b2＞c2；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，如圖②所示，設(shè)CD＝x，則BD2＝a2－x2，根據(jù)勾股定理，得(b＋x)2＋a2－x2＝c2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，所以a2＋b2＋2bx＝c2，因?yàn)閎＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a2＋b2＜c2． 　　[探究評(píng)析]通過(guò)觀(guān)察，猜想得出結(jié)論，用勾股定理的知識(shí)去驗(yàn)證結(jié)論的正確性．