Question

在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標(biāo)為（2，0），與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙A的切線BC，交x軸于B．
（1）求直線CB的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)在直線BC上，與x軸交的點(diǎn)恰為⊙A與x軸的交點(diǎn)，求該拋物線的解析式；
（3）試判斷C是否在拋物線上？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，根據(jù)圓的半徑求出AC，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OA，然后利用勾股定理列式求出OC，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出∠CAO=60°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B=30°，再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長(zhǎng)度，然后求出OB，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)圓的性質(zhì)求出點(diǎn)E（-2，0）、F（6，0），然后設(shè)交點(diǎn)式拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，利用頂點(diǎn)在直線BC上求出縱坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）如圖，連接AC，∵⊙A的半徑為4，圓心A的坐標(biāo)為（2，0），
∴AC=4，OA=2，
在Rt△ACO中，OC===2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵cos∠CAO===，
∴∠CAO=60°，
∴∠B=90°-∠CAO=90°-60°=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴OB=AB-OA=8-2=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線BC的解析式為y=x+2；

（2）∵⊙A的半徑為4，圓心A的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)E（-2，0）、F（6，0），
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E、F，
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∵頂點(diǎn)在直線BC上，
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為×2+2=，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），
∴a（2+2）（2-6）=，
解得a=-，
∴y=-（x+2）（x-6），
即y=-x²+x+2；

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
所以，點(diǎn)C（0，2）在拋物線上．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了圓的對(duì)稱性，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)解析式），二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度不大，（2）利用交點(diǎn)式解析式求拋物線解析式更加簡(jiǎn)便．