Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC，AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F。

（1）試說明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF與△ABE相似嗎？說說你的理由；
（3）BD²=AD·DF成立嗎？若成立，請說明理由。

Answer 1

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABD=∠BCE，再結(jié)合BD=CE即可證得結(jié)論；（2）相似；（3）成立

解析試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABD=∠BCE，再結(jié)合BD=CE即可證得結(jié)論；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可得∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，即可證得結(jié)論；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，即可證得△BDF∽△ADB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）△AEF與△ABE相似．
由（1）得：∠BAD=∠CBE，
又∵∠ABC=∠BAC，
∴∠ABE=∠EAF，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（3）成立
由（1）得：∠BAD=∠FBD，
又∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴，即BD²=AD•DF．
考點：等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)
點評：相似三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.