Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把拋物線y=x²向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-h）²+k．所得拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）寫出h、k的值；
（2）判斷△ACD的形狀，并說明理由；
（3）作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到h、k的值；
（2）根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，即可得到A、C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC、AD、CD的長，然后再判斷△ACD的形狀；
（3）分別求出直線OM、直線AC的解析式，然后聯(lián)立兩解析式即可得出交點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=x²的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∴y=（x-h）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)D（-1，-4），
∴h=-1，k=-4．

（2）由（1）得y=（x+1）²-4，
當(dāng)y=0時，（x+1）²-4=0，
解得：x₁=-3，x₂=1，
故可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)x=0時，y=（x+1）²-4=（0+1）²-4=-3，
則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），
作拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，

在Rt△AED中，AD²=2²+4²=20，
在Rt△AOC中，AC²=3²+3²=18，
在Rt△CFD中，CD²=1²+1²=2，
∵AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形；

（3）
根據(jù)B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為：y=3x-3，
∵OM∥BC，
∴可得OM的解析式為：y=3x，
根據(jù)A、C的坐標(biāo)可得直線AC的解析式為：y=-x-3，
聯(lián)立直線OM與AC的解析式：

y=3x y=-x-3

，
解得：

x=- 3 4 y=- 9 4

，
即可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

3

4

，-

9

4

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了函數(shù)圖象的幾何變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解答本題的難點(diǎn)在于點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換，注意各知識點(diǎn)之間的融會貫通，難度較大．