Question

閱讀材料：
如圖1，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)B為拋物線與y軸的交點(diǎn)，求直線AB的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)和拋物線上的幾點(diǎn)，即可利用頂點(diǎn)式求解析式；
（2）利用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)S_△PAB=S_△CAB即可得到一個(gè)關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的方程，即可求出方程根的情況，進(jìn)而得到不存在符合要求的P點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b，
求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

所以y₂=-x+3，

（3）因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
所以當(dāng)x=1時(shí)，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
S△CAB=

1

2

×3×2=3，
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：

1

2

×3×（-x²+2x）=3
化簡得：x²-2x+2=0，
∵b²+4ac=4-8=-4＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根，
∴不存在這樣的點(diǎn)使S_△PAB=S_△CAB．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．