Question

如圖，拋物線y=ax²+4經(jīng)過x軸上的一點A（-2，0），P是拋物線上的一動點，以P為圓心作⊙P；
（1）求a的值；
（2）是否存在一個⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切？若存在，請你求⊙P的半徑；若不存在，請說明理由．
（3）若⊙P的半徑為，當⊙P與直線y=x-5相切時，求P點的坐標．

Answer 1

解：（1）把A（-2，0）代入y=ax²+4得：
4a+4=0，
∴a=-1；

（2）根據(jù)a=-1，則y=-x²+4，
設(shè)P（x，-x²+4），利用⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切，
則x=-x²+4，
解得：x₁=，x₂=（不合題意舍去），
則當⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切時，
⊙P的半徑為；

（3）如圖，作PM∥y軸，交DE于M，作PN⊥DE于N，
易求直線y=x-5與兩坐標軸的交點為E（0，-5），D（5，0）
所以∠PMD=∠OED=45°
∴，
若⊙P與直線y=x-5相切，則，
∴…
設(shè)P（x，-x²+4），則M（x，x-5）
①當P在M的上方時，PM=-x²+4-（x-5）=3，
解得：x=-3或2
∴P₁（-3，-5）P₂（2，0）
②當P在M的下方時，PM=x-5-（-x²+4）=3，
解得：x=-4或3…
∴（-4，-12）P₄（3，-5）．
分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+4經(jīng)過x軸上的一點A（-2，0），把A點代入y=ax²+4即可求出a的值；
（2）根據(jù)設(shè)P（x，-x²+4），利用⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切，則x=-x²+4求出即可，
（3）利用①當P在M的上方時，PM=-x²+4-（x-5）=3，②當P在M的下方時，PM=x-5-（-x²+4）=3，分別求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及直線與圓的位置關(guān)系等知識，利用在圖象上點的坐標特點表示出線段長度是解題關(guān)鍵．