Question

對(duì)于給定的拋物線y=x²+ax+b，使實(shí)數(shù)p、q適合于ap=2（b+q）
（1）證明：拋物線y=x²+px+q通過(guò)定點(diǎn)；
（2）證明：下列兩個(gè)二次方程，x²+ax+b=0與x²+px+q=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）由已知求得q=

ap

2

-b，代入拋物線y=x²+px+q，得y=x²+px+

ap

2

-b，將拋物線y=x²+ax+b的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-

a

2

代入可求y的值，確定結(jié)果為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即可；
（2）方程x²+ax+b=0與x²+px+q=0的判別式分別為a²-4b，p²-4q，由2q=ap-2b可得出兩個(gè)判別式的和為非負(fù)數(shù)，可知其中至少有一個(gè)判別式為非負(fù)數(shù)，故至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．

解答：證明：（1）由ap=2（b+q），得q=

ap

2

-b，代入拋物線y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+

a

2

）=0，
得

x+ a 2 =0 -y+x2-b=0

，
解得：

x=- a 2 y= a2-4b 4

，
故拋物線y=x²+px+q通過(guò)定點(diǎn)（-

a

2

，

a2-4b

4

）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一個(gè)非負(fù)，
∴x²+ax+b=0與x²+px+q=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線上的點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，判別式判斷一元二次方程解的運(yùn)用，明確兩個(gè)數(shù)的和為非負(fù)數(shù)時(shí)，其中至少有一個(gè)數(shù)為非負(fù)數(shù)．