Question

15、請同時取六個互異的自然數(shù)，使它們同時滿足：
（1）6個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)；
（2）6個數(shù)任意取2個、3個、4個、5個、6個數(shù)之和都是合數(shù)，并簡述選擇的數(shù)合乎條件的理由．

Answer 1

分析：兩個條件同時滿足，要求六個數(shù)必為奇數(shù)，根據(jù)“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”得到所求的六個數(shù)．

解答：解：六個中最多只能有一個偶數(shù)，但這樣就不能保證（2）條件了，
因此六個都應選奇數(shù)，
∵奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，
∴任取2、4、6個數(shù)之和必然后是合數(shù)，
要保證取3、5個數(shù)的和為合數(shù)，就是讓它們除以3和5時余數(shù)相等即可．
∵3×5=15，
∴15-2=13，
∵奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)；
∴13及13+2×15的倍數(shù)就是要選的目標；
所以這六個數(shù)分別是13、43、73、103、143、173，
或15-1=14；14+15=29；
因此29及29+15×2的倍數(shù)為選擇目標：29、59、89、119、149和179．

點評：解答此題要明確互質(zhì)數(shù)的定義：最大的公因數(shù)是1的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)．又是兩個數(shù)是最大公因數(shù)只有1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)． 這里所說的“兩個數(shù)”是指除0外的所有自然數(shù)．“公因數(shù)只有 1”，不能誤說成“沒有公因數(shù)．”