Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．點(diǎn)P由點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，且與AC交于Q點(diǎn)，連接PE，PF．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時，所有運(yùn)動停止．若設(shè)運(yùn)動時間為t（s）．
（1）求AB的長度；
（2）當(dāng)PE∥CD時，求出t的值；
（3）①設(shè)△PEF的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，當(dāng)△PEF的外接圓圓心O恰在EF的中點(diǎn)時，則t的值為______．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作BC的垂線，設(shè)垂足為M，在Rt△ABM中，由勾股定理即可求得AB的長；
（2）當(dāng)PE∥CD時，△AEP∽△ADC，可用t表示出CP、AP、AE的長，進(jìn)而由相似三角形得到的比例線段求得t的值；
（3）①易知BC=AC=15，則△ABC是等腰三角形，由于AE∥BC，易證得△AEQ、△CFQ也是等腰三角形，則AE=AQ=t，CQ=CF=15-t；可分別過E、F作AC的垂線，設(shè)垂足為G、H，根據(jù)∠DAC、∠BCA的正弦值即可得到EG、FH的表達(dá)式，進(jìn)而可求得△PQE、△PQF的面積表達(dá)式，兩者的面積和即為△PEF的面積，由此可得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②由①知：AE=CP=t，CF=CQ=15-t，且∠DAC=∠BCA，即可證得△AEP≌△CPF，得PE=PF；若△PEF的外接圓圓心是EF的中點(diǎn)，那么此時△PEF是等腰Rt△，已求得EF（即AB）的長，進(jìn)而可得到△PEF的面積，然后將S的值代入①的函數(shù)關(guān)系式中即可求得t的值．
解答：解：（1）過A作AM⊥BC于M，則四邊形AMCD是矩形；
∴AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；
Rt△ABM中，AM=12cm，BM=BC-MC=6cm；
由勾股定理，得：AB=6cm（只寫答案給1分）（3分）

（2）當(dāng)PE∥CD時△AEP∽△ADC
∴=
∵∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，
∴AC=．==15cm
∴AP=15-t
∴=（2分）
解得t=（符合題意）
∴當(dāng)PE∥CD時，t=；（2分）

（3）①過點(diǎn)E，F(xiàn)作EG⊥AC于G，F(xiàn)H⊥AC于H．
易證AQ=AE=t（1分）
在Rt△ADC中，sin∠DAC===
∴EG=AE×sin∠DAC=t；
∵AD∥BC
∴∠ACB=∠DAC
∴FH=CF×sin∠CAB=（15-t）=12-t
∴S_△PEF=S_△PQE+S_△PQF=+=
（t+12-t）=-12t+90；（4分）
②易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15-t，∠EAP=∠FCP，
∴△AEP≌△CPF，∴EP=PF；
∵EF是⊙O的直徑
∴∠EPF=90°；
∴△EPF是等腰直角三角形；
易知EF=AB=6cm；
∴S=×6×3=45cm²；
代入①的函數(shù)關(guān)系式，得：
-12t+90=45，解得t=．（3分）
點(diǎn)評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力．