Question

已知點(diǎn)A是直線y=-3x+6與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在第四象限且在直線y=-3x+6上，線段AB的長度是3

5

．將直線y=-3x+6繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，記點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是B₁，
（1）若點(diǎn)B₁與B關(guān)于y軸對稱，求點(diǎn)B₁的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)B₁恰好落在x軸上，求sin∠B₁AB的值．

Answer 1

分析：（1）欲求點(diǎn)B₁的坐標(biāo)，求出點(diǎn)B坐標(biāo)即可．過點(diǎn)B作BD⊥Y軸，垂足為D，利用三角形相似就可以求出B的坐標(biāo)；
（2）欲求sin∠B₁AB的值，需構(gòu)建直角三角形，因此過B₁作B₁E⊥AC，垂足為E，運(yùn)用面積法求出B₁E即解．

解答：解：（1）如圖，設(shè)直線y=-3x+6與x軸交于點(diǎn)C，
則C（2，0）．
∴AC=

62+22

=2

10

，
過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，
∴△AOC∽△ADB，
∴

AC

AB

=

OC

DB

，
∴DB=

3 5 ×2

2 10

=

3

2

2

，
又∵

AC

AB

=

AO

AD

，
∴AD=

3 5 ×6

2 10

=

9

2

2

，
∴OD=

9

2

2

-6，
=

9 2 -12

2

，
∴點(diǎn)B（

3

2

2

，

12-9 2

2

），
∴點(diǎn)B₁（-

3

2

2

，

12-9 2

2

）；

（2）當(dāng)直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在x負(fù)半軸上時(shí)，記點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B₁．
∵AB=3

5

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB₁=AB=3

5

，
∴B₁O=

(- 3 2 2 ) 2+( 12-9 2 2 )2

=3，
B₁C=5，
過B₁作B₁E垂直AC，垂足為E．
則有

1

2

×B₁E×AC=

1

2

×AO×B₁C，
∴B₁E=

6×5

2 10

=

3

2

10

，
在Rt△AB₁E中，sin∠B₁AB=

B1E

AB1

=

3 2 10

3 5

=

2

2

，
當(dāng)直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在x正半軸上時(shí)，記點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B₂．
則B₂O=3，
過B₂向AB作垂線B₂F，垂足為F．
∵∠B₁EC=∠B₂FC=90°，∠ECB₁=∠FCB₂
∴△B₁EC∽△B₂FC，
∴

B1E

FB2

=

B1C

CB2

，
∴FB₂=

3

10

10

，
在Rt△AFB₂中，sin∠B₂AF=

B2F

AB2

=

3 10 10

3 5

=

2

10

，
∴sin∠B₁AB的值是

2

2

或

2

10

．

點(diǎn)評：此題主要考查一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)、相似三角形判定和性質(zhì)及三角函數(shù)定義，此外還考查了對稱和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．