Question

如圖1所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y取最大值.

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若直線與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點(diǎn)，問:

①是否存在a的值，使得∠MON=90⁰？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②猜想當(dāng)∠MON＞90⁰時(shí)，a的取值范圍（不寫過程，直接寫結(jié)論）.

（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點(diǎn)間的距離為）

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或（3）①存在②當(dāng)時(shí)，∠MON＞90⁰。

【解析】解：（1）∵當(dāng)時(shí)，取最大值，

∴ ，解得。

∴拋物線的解析式為。

令，解得 ，∴A（－3，0），B（2，0）。

令x=0，得，∴C（0，6）。

將A、C的坐標(biāo)代入，得

，解得。

∴直線AC的解析式為。

（2）分兩種情況：

①點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，過P作PH⊥x軸，垂足為H，

∵，∴。

∵PH∥CP，∴△APH∽△ACO。

∴，即。

∴�！�。

∴。

②點(diǎn)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過P作PG⊥x軸，垂足為G，     

∵，∴。

∵PG∥CO，∴△APG∽△ACO。

∴，即。

∴�！�。

∴。

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或。

（3）①存在。

假設(shè)存在a的值，使直線與（1）中所求的拋物線交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），使得∠MON=90⁰，

由得。

∴。

又，，

∴。

∵∠MON=90⁰，∴。

∴。∴。

∴，即，解得或。

∴存在或使得∠MON=90⁰。

②當(dāng)時(shí)，∠MON＞90⁰。

（1）根據(jù)當(dāng)時(shí)，取最大值列式求出b、c，從而得到拋物線的解析式；由拋物線的解析式得到A，C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式。

（2）分點(diǎn)P在線段AC上和兩種情況討論即可。

（3）①應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理求解。

②如圖，

當(dāng)或時(shí)，∠MON=90⁰；

當(dāng)或時(shí)，∠MON＜90⁰；

當(dāng)時(shí)，∠MON＞90⁰。