Question

（2007•威海）如圖，正方形網(wǎng)格的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，試求∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：要求∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄的度數(shù)，不能把其中每個(gè)角度數(shù)求出，只能把這幾個(gè)角的和轉(zhuǎn)換成等于一個(gè)已知角．所以連接A₃E₂，容易證明Rt_△A3A2E2≌Rt_△A1A2E2，得到∠A₃E₂A₂=∠A₁E₂A₂．再通過(guò)利用勾股定理計(jì)算證明可以得到△A₄C₄E₅≌△A₃C₃E₂，這樣∠A₃E₂C₃=∠A₄E₅C₄，再利用圖形的已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換可以得到：∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄=∠A₂E₂C₄=45°．
解答：解：連接A₃E₂．
∵A₃A₂=A₁A₂，A₂E₂=A₂E₂，∠A₃A₂E₂=∠A₁A₂E₂=90°，
∴Rt△A₃A₂E₂≌Rt△A₁A₂E₂（SAS）．
∴∠A₃E₂A₂=∠A₁E₂A₂．（3分）
由勾股定理，得，，
∵A₄C₄=A₃C₃=2，
∴△A₄C₄E₅≌△A₃C₃E₂（SSS）．
∴∠A₃E₂C₃=∠A₄E₅C₄．（6分）
∴∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄=∠A₃E₂C₄+∠A₄E₂C₄+∠A₃E₂C₃=∠A₂E₂C₄．
由圖可知△E₂C₂C₄為等腰直角三角形．
∴∠A₂E₂C₄=45度．
即∠A₁E₂A₂+∠A₄E₂C₄+∠A₄E₅C₄=45°（9分）．
點(diǎn)評(píng)：此題要多次應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)，把題目要求的幾個(gè)角之和轉(zhuǎn)換到等于一個(gè)知道具體度數(shù)的角．