Question

如圖：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)E在AC上，E與A、C均不重合．
（1）若點(diǎn)F在AB上，且EF平分△ABC的周長(zhǎng)，設(shè)AE=x，用含x的代數(shù)式表示S_△AEF；
（2）若點(diǎn)F在折線ABC上移動(dòng)，是否存在直線EF將Rt△ABC的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分？若存在，求出AE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．

Answer 1

分析：若求△AEF的面積，由已知知道其底邊長(zhǎng)，只需求出高就行了，利用平行線分線段成比例定理，建立中間量，即可求出其高度，第二問(wèn)先假設(shè)成立，再建立平衡方程，進(jìn)一步驗(yàn)證．最終得出結(jié)論．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于M，
EF平分△ABC的周長(zhǎng)，AE=x，所以可得AE+AF=CE+BC+BF，
即：x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x．
由平行線分線段成比例定理可知，
AF：AB=FM：BC，即，6-x：5=FM：4，
解得FM=

24-4x

5

，
所以S_△AEF=

1

2

 × 

24-4x

5

 •x=

12x-2 x2

5

（2）若EF存在，
①當(dāng)F在AB上時(shí)，如圖1，
則由（1）可知，S_△AEF=

12-2x2

5

=

1

2

 ×3×4×

1

2

=3，
化簡(jiǎn)得，2x²-12x+15=0，由△=12²-4×2×15=24＞0，
解得x₁=

6- 6

2

，x₂=

6+ 6

2

（不合題意舍去）．
即AE=

6- 6

2

．
②當(dāng)F在BC上時(shí)，如圖2，
CF+CE=AE+AB+BF，
即CF+3-x=x+5+4-CF，
CF=3+

1

2

x，
根據(jù)面積平分得出S_△CFE=S_{四邊形BFEA}=

1

2

S_△ACB=3，
即

1

2

×（3-x）×（3+

1

2

x）=3，
解得：x₃=

-3+ 33

2

，x₄=

-3- 33

2

（舍去），
即存在直線EF將Rt△ABC的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，AE的長(zhǎng)是

6- 6

2

或

-3+ 33

2

．

點(diǎn)評(píng)：能夠?qū)⑽粗�量通過(guò)求中間量建立等式關(guān)系，進(jìn)而求解，另外對(duì)于類似第二問(wèn)中的問(wèn)題，可用假設(shè)的方法求解．