Question

已知拋物線y=x²-2x+6-m與直線y=-2x+6+m，它們的一個交點的縱坐標是4．
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）如圖，直線y=kx（k＞0）與（1）中的拋物線交于兩個不同的點A、B，與（1）中的直線交于點P，試證明：

OP

PA

+

OP

OB

=2；
（3）在（2）中能否適當選取k值，使A、B兩點的縱坐標之和等于8？如果能，求出此時的k值；如果不能請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線與直線的縱坐標都是4，代入函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組解答即可；
（2）分別過A、P、B分別作x軸的垂線，利用平行線分線段成比例及根與系數(shù)的關系解決問題；
（3）假設k存在，與y=x²-2x+4聯(lián)立方程，求得k的值，代入y=x²-2x+4驗證即可解決問題．

解答：解：（1）由題意知x²-2x+6-m=4，-2x+6+m=4，
聯(lián)立方程組解得m=2，
所以拋物線和直線的解析式分別為y=x²-2x+4，y=-2x+8；

（2）分別過A、P、B分別作x軸的垂線，垂足分別為A′、P′、B′，
則AA′∥PP′∥BB′，
由平行線分線段成比例定理有：

OP

OA

+

OP

OB

=

xP

xA

+

xP

xB

=

xP(xA+xB)

xA•xB

（1），
把y=kx（k＞0）代入拋物線y=x²-2x+4得x²-（2+k）x+4=0，
由韋達定理有：x_A+x_B=2+k，x_A•x_B=4（2），
把y=kx（k＞0）代入y=-2x+8中有：x_p=

8

k+2

（3），
將（2）（3）代入（1）式中有：

OP

OA

+

OP

OB

=

8

k+2

•

k+2

4

=2；

（3）假設k存在，則x²-2x+4=kx，即x²-（2+k）x+4=0，
x_A+x_B=2+k，故縱坐標之和為：k（k+2）=8
解得，k=-4或k=2，
當k=-4時與k＞0矛盾；
當k=2時，x_A=x_B與A、B是不同的兩個交點矛盾；
故不存在這樣的k值．

點評：此題主要待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行線分線段成比例定理，根與系數(shù)的關系以及一次函數(shù)的交點問題．