Question

（2012•十堰）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，需購買甲、乙兩種材料．生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲種材料30千克、乙種材料10千克；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲、乙兩種材料各20千克．經(jīng)測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元．
（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？
（2）現(xiàn)工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元，且生產(chǎn)B產(chǎn)品不少于28件，問符合條件的生產(chǎn)方案有哪幾種？
（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需加工費(fèi)200元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需加工費(fèi)300元，應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方案，使生產(chǎn)這50件產(chǎn)品的成本最低？（成本=材料費(fèi)+加工費(fèi)）

Answer 1

分析：（1）設(shè)甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根據(jù)購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元，可列出方程組

x+y=40 2x+3y=105

，解方程組即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品m件，生產(chǎn)B產(chǎn)品（50-m）件，先表示出生產(chǎn)這50件產(chǎn)品的材料費(fèi)為15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，根據(jù)購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元得到-100m+40000≤38000，根據(jù)生產(chǎn)B產(chǎn)品不少于28件得到50-m≥28，然后解兩個(gè)不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m為整數(shù)，則m的值為20，21，22，易得符合條件的生產(chǎn)方案；
（3）設(shè)總生產(chǎn)成本為W元，加工費(fèi)為：200m+300（50-m），根據(jù)成本=材料費(fèi)+加工費(fèi)得到W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到W 隨m的增大而減小，然后把m=22代入計(jì)算，即可得到最低成本．

解答：解：（1）設(shè)甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，則

x+y=40 2x+3y=105

，解得

x=15 y=25

，
所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品m件，生產(chǎn)B產(chǎn)品（50-m）件，則生產(chǎn)這50件產(chǎn)品的材料費(fèi)為15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，
由題意：-100m+40000≤38000，解得m≥20，
又∵50-m≥28，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
∴m的值為20，21，22，
共有三種方案，如下表：

A（件）	20	21	22
B（件）	30	29	28

（3）設(shè)總生產(chǎn)成本為W元，加工費(fèi)為：200m+300（50-m），
則W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，
∵W 隨m的增大而減小，而m=20，21，22，
∴當(dāng)m=22時(shí)，總成本最低，此時(shí)W=-200×22+55000=50600元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：通過實(shí)際問題列出一次函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．也考查了二元一次方程組以及二元一次不等式組的應(yīng)用．