Question

7．如圖1，點(diǎn)A（0，a），B（-a，0）分別在y軸，x軸上（a＞0），以AB為對(duì)角線作長(zhǎng)方形ACBD，點(diǎn)C在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)．
（1）若方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$的解是a，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）延長(zhǎng)BD交y軸于E，AD交x軸于F，連結(jié)EF，求證：EF⊥AB；
（3）如圖2，連結(jié)OD，求∠ODA的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)EF交AB于G，由點(diǎn)A（0，a），B（-a，0），得到AO=BO=a，求得∠ABO=∠BAO=45°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OAF=∠OBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OF=OE，得到∠OFE=45°，求得∠GFB=∠OFE=45°，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）解方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$得x=4，
∵方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$的解是a，
∴a=4，
∴點(diǎn)A（0，4），B（-4，0）；

（2）延長(zhǎng)EF交AB于G，
∵點(diǎn)A（0，a），B（-a，0），
∴AO=BO=a，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵四邊形ACBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°，
∴∠OAF+∠AED=∠OBE+∠AED=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
在△AOF與△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OBE}\\{OA=OB}\\{∠AOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴OF=OE，
∴∠OFE=45°，
∴∠GFB=∠OFE=45°，
∴∠GBF=45°，
∴∠BGF=90°，
∴EF⊥AB；

（3）∵∠ADB=∠AOB=90°，
∴A，B，D，O四點(diǎn)共圓，
∴∠ADO=∠ABO=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全是三角形的判定和性質(zhì)，分式方程的解法，矩形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．