Question

如圖1，點(diǎn)A為拋物線C₁：的頂點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB交拋物線C₁于另一點(diǎn)C．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)如圖1，平行于y軸的直線x＝3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C₁于點(diǎn)E，平行于y軸的直線x＝a
交直線AB于F，交拋物線C₁于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；
(3)如圖2，將拋物線C₁向下平移m(m＞0)個(gè)單位得到拋物線C₂，且拋物線C₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸
于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí)，求m的值．

圖1                             圖2

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y＝－2�！郃（0，－2）。
設(shè)直線AB的解析式為，則，解得。
∴直線AB的解析式為。
∵點(diǎn)C是直線AB與拋物線C₁的交點(diǎn)，
∴，解得（舍去）。
∴C（4，6）。
（2）∵直線x＝3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C₁于點(diǎn)E，

∴，∴DE=。
∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。
∵直線x＝a交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線C₁于點(diǎn)G，
∴。
∴FG=。
解得。
（3）設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H。

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t,0），拋物線C₂的解析式為。
∴。∴。
∴�！郟（0，）。
∵點(diǎn)N是直線AB與拋物線C₂的交點(diǎn)，
∴，解得（舍去）。
∴N（）。
∴NQ=，MQ=�！郚Q=MQ。∴∠NMQ=45⁰。
∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形�！郙O=TO，HT=HN。
∴OT=－t，。
∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。
∴，解得（舍去）。
∴。∴。

解析