Question

（2013•贛州模擬）如圖1，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（其中a＜0，b＞0，c＞0）的圖象與y軸的交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為A；直線CD∥x軸、且與拋物線的對(duì)稱軸AE交于點(diǎn)B，交拋物線于另一點(diǎn)D．
（1）試用含b的代數(shù)式表示

AB

CD

的值；
（2）如圖2，連接AC與AD，我們把△ACD稱為拋物線的伴隨三角形．
①當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，求出此時(shí)b值；
②若△ACD的面積記為S，當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2時(shí)，請(qǐng)寫出伴隨三角形面積S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)表示出線段AB和線段CD的長，然后求其比值即可；
（2）①首先判定三角形ACD是等腰直角三角形，然后表示出AB與CD的比值，從而得到有關(guān)b的等式，求解即可；
②根據(jù)表示的AB和CD的長表示出伴隨三角形的面積，利用其對(duì)稱軸為2表示出a、b的關(guān)系，從而表示出S．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為

4ac-b2

4a

，
又∵直線CD∥x軸與拋物線的對(duì)稱軸AE交于點(diǎn)B，且a＜0，c＞0，
∴AB=

4ac-b2

4a

-c=-

b2

4a

；    
在y=ax²+bx+c中，設(shè)y=c，可得：c=ax²+bx+c，
解得x1=0，x2=-

b

a

，
∵a＜0，b＞0，
∴CD=-

b

a

-0=-

b

a

，
∴

AB

CD

=（-

b2

4a

）÷（-

b

a

）=

b

4

；  

（2）①∵直線AE是拋物線的對(duì)稱軸，直線CD∥x軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AE對(duì)稱，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形，
又∵△ACD是直角三角形，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴

AB

CD

=

1

2

，又由（1）可知

AB

CD

=

b

4

，
∴

b

4

=

1

2

，
∴當(dāng)b=2時(shí)，
△ACD是直角三角形；
②∵AB=-

b2

4a

，CD=-

b

a

，
∴伴隨△ACD的面積S=

1

2

×AB×CD，
∴S=

1

2

×（-

b2

4a

）×（-

b

a

）=

b3

8a3

，
又拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴-

b

2a

=2
∴a=-

b

4

，
∴S=

b3

8×(- b 4 )2

=2b（b＞0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是第二題中提到的伴隨三角形是一個(gè)全新的概念，考查了同學(xué)們的理解與加工新知識(shí)的能力．