Question

如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長，交AD的延長線于F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．

  （1）求證：BE是⊙O的切線；

  （2）求證：；

  （3）若過點D作DG//BE交EF于G，過G作GH//DE交DF于H，則易知△DHG是等邊三角形．設△ABC、△BDE、△DHG的面積分別為、、，試探究、、之間的數量關系，并說明理由．

 

Answer 1

1）證明：連結OB，

　　　　　 ∵△ABC和△BDE都是等邊三角形

　　　　　 ∴∠ABC=∠EBD=60°

　　　　　 ∴∠CBE=60°，∠OBC=30°

　　　　　 ∴∠OBE=90°

∴BE是⊙O的切線

（2）證明：連結MB,則∠CMB=180°-∠A=120°

　　　　　　　 ∵∠CBF=60°+60°=120°

　　　　　　　 ∴∠CMB=∠CBF

∵∠BCM=∠FCB

∴△CMB≌△CBF

∴即

∵AC=CB

∴

　 �。�3）解：作DG//BE，GH//DE

　　　　　　　 ∵AC∥BE∥DG

　　　　　　　 ∴

∵BC∥DE∥HG

　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 ∴　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 ∵,

　　　　　　　 ∴即