Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y 軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)（OA＜OB）是關(guān)于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，C是線段AB的中點(diǎn)，OC=3，D在線段OC上，OD=2CD．
（1）求OA、OB的長(zhǎng)；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=2OC=6，
∴OA²+OB²=AB²==180，
∵OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，
∴（OA+OB）²-2OA×OB=180，
即（2m+6）²-4m²=180，
∴m=6，
即方程為x²-18x+72=0，
∴x₁=12，x₂=6，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=12．

（2）過(guò)C作CM⊥OA于M，過(guò)D作DN⊥OA于N，
∵CM∥OB，
∴===，
∵OA=6，OB=12，
∴CM=6，AM=3，OM=3，
∴C（3，6），
∵OD=2CD，
∴===，
∴DN=4，ON=2，
∴D（2，4），
設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，
∵A（6，0），
代入得：，
解得：k=-1，b=6，
∴直線AD的解析式是y=-x+6．

（3）設(shè)直線y=-x+6交y軸于F，
把x=0代入y=-x+6得：y=6，
∴F（0，6），OF=6=OA，
由勾股定理得：AF=6，
分為兩種情況：
①以O(shè)A為一邊時(shí)，如圖，共有3個(gè)點(diǎn)，如圖，AP=OA=AP′=6，RT∥OA∥KG，
點(diǎn)Q在點(diǎn)T、K點(diǎn)時(shí)，以O(shè)、A、P（P′）、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∵A（6，0），OP=OA，
∴OP=6=PR=PT，
∴此時(shí)Q的坐標(biāo)是（6，6），

過(guò)P′作P′H⊥OA于H，
AP′=6，
由勾股定理得：P′H=AH=3，
K（3，-3），
K點(diǎn)在直線AD上關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)（-3，3）也可以．

②以O(shè)A為對(duì)角線，作OA的垂直平分線交AD于P，交OA于M，在OA的下方，MP=MQ，以O(shè)、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
把x=3代入y=-x+6得：y=3，
此時(shí)Q的坐標(biāo)是（3，-3），
綜合上述：P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（6，6）或
（3，-3）或（-3，3）或（3，-3）．
分析：（1）求出AB=2OC=6，根據(jù)OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，得出方程（2m+6）²-4m²=180，求出m的值，代入方程，求出方程的解即可；
（2）過(guò)C作CM⊥OA于M，過(guò)D作DN⊥OA于N，求出C、D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，把A、D的坐標(biāo)代入求出即可；
（3）求出AD與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出AF，①以O(shè)A為一邊時(shí)，共有4個(gè)點(diǎn)，根據(jù)A坐標(biāo)和OP=OA即可求出R、T的坐標(biāo)，K（3，-3），同理求出G、K的坐標(biāo)；②以O(shè)A為對(duì)角線，作OA的垂直平分線交AD于P，交OA于M，在OA的下方作MP=MQ，把x=3代入y=-x+6求出y，即可得出此時(shí)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，主要培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．分類討論思想的運(yùn)用．