Question

如圖，AB是圓O的直徑，AD、BC垂直于AB，AD=13，BC=16，DC=5，點P是動點，點P以1cm/s的速度由A向D運動，同時Q從C向B以2cm/s的速度運動，當(dāng)一點到達時時，另一點同時停止運動．
（1）當(dāng)P從A向Q運動t秒時，四邊形PQCD的面積S與t的關(guān)系式．
（2）是否存在時間t，使得梯形PQCD是等腰梯形？若存在求出時間t，不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圓的直徑AB，要求四邊形PQCD的面積，只需用t表達出CQ和PD．
（2）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ'-P'D=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值．

解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四邊形ADEB為矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE=

DC2-CE2

=4cm，
當(dāng)P、Q運動t秒時，AP=t，CQ=2t，PD=AD-AP=（13-t），
則S=

1

2

（13-t+2t）×4，即y=2t+26（0≤t≤8）；

（2）當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，過P作PF⊥BC于F，如圖：
，
則有Q'F=CE=3．
即CQ'-P'D=Q'F+CE，即2t-（13-t）=6，
解得：t=

19

3

．
即當(dāng)t=

19

3

時，梯形PQCD是等腰梯形．

點評：本題考查了圓的綜合題及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用含t的式子表示出各線段的長度，另外要求我們熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)，難度較大．