Question

（2007•防城港）如圖，在銳角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD為直徑的⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：∠EAF+∠EDF=180°；
（2）已知P是射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PD=BD時(shí)，連接AP，交⊙O于G，連接DG．設(shè)∠EDG=∠α，∠APB=∠β，那么∠α與∠β有何數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論．[在探究∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系時(shí)，必要時(shí)可直接運(yùn)用（1）的結(jié)論進(jìn)行推理與解答]

Answer 1

【答案】分析：（1）由直徑對(duì)的圓周角是直角和四邊形的內(nèi)角和是360度可證得∠EAF+∠EDF=180°；
（2）證得△ABD≌△APD后，可得到∠EAG+2∠β=180°，再由（1）可得∠α=2∠β．
解答：（1）證明：在圓內(nèi)接四邊形AEDF中，
AD為直徑，
∴∠AED=∠AFD=90°
又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°
∴∠EAF+∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD）=180°（4分）

（2）解：∠α=2∠β，理由如下：
如圖，
在△ABD與△APD中，
AD⊥BP，且BD=DP，AD=AD
∴△ABD≌△APD（SAS）
∴∠B=∠APD=∠β（2分）
在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD=180°，
則∠EAG+2∠β=180°
由（1）知∠EAG+∠EDG=180°，
則∠EAG+∠α=180°
即∠α=2∠β．（4分）
點(diǎn)評(píng)：本題第（1）小題實(shí)際是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)的證明；第（2）小題是它的應(yīng)用．