Question

已知A（0，6），點(diǎn)B（t，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，作BC⊥AB，且BC：AB=1：2．又BD⊥x軸交直線AC于點(diǎn)D．
（1）如圖，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積；
（2）當(dāng)△ABD為等腰三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥OB于E，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△AOB∽△BEC，列出比例式求出BE=3，EC=t，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；先由勾股定理求出BC²，再根據(jù)三角形的面積公式及AB=2BC，得出S_△ABC=BC²；
（2）當(dāng)△ABD為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①AD=AB；②AD=BD；③AB=BD．每一種情況，都可以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列出關(guān)于t的方程，解方程即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥OB于E．
在△AOB與△BEC中，
∵∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴===2，
即==2，
∴BE=3，EC=t，
∴OE=OB+BE=t+3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t+3，t）；
在Rt△BCE中，BC²=CE²+BE²=t²+9，
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=AB•BC=BC²，
∴S_△ABC=t²+9；

（2）∵A（0，6），C（t+3，t）；
∴直線AC的解析式為y=x+6．
∵點(diǎn)B（t，0），
∴設(shè)D（t，t+6），
∴AB²=t²+36，AD²=t²+（t）²，BD²=（t+6）²．
分三種情況：
①當(dāng)AD=AB時(shí)，t²+（t）²=t²+36，（t）²=36，
∴t=6或t=-6，
當(dāng)t=6時(shí)，整理得t²-24t-36=0，
解得t₁=12+6，t₂=12-6（不合題意，舍去），
∴B₁（12+6，0）；
當(dāng)t=-6時(shí)，整理得t²+36=0，
此方程無解；
②當(dāng)AD=BD時(shí)，t²+（t）²=（t+6）²，
整理得t³-3t²+36t-108=0，
∴（t-3）（t²+36）=0，
解得t=3，
∴B₂（3，0）；
③當(dāng)AB=BD時(shí)，t²+36=（t+6）²，
整理得t³+8t²+36t+288=0，
∴（t+8）（t²+36）=0，
解得t=-8（不合題意，舍去）．
綜上可知，符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)為B₁（12+6，0），B₂（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式的確定，方程的解法等知識(shí)，注意（2）中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．