Question

（2010•淮安）如（a）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時(shí)針?lè)较蛞?個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)一周．
（1）點(diǎn)C坐標(biāo)是______，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)8.5秒時(shí)所在位置的坐標(biāo)是______；
（2）設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時(shí)，S最大；
（3）點(diǎn)E在線段AB上以同樣速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如（b）圖，若點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，問(wèn)在運(yùn)動(dòng)5秒鐘內(nèi)，以點(diǎn)D，A，E為頂點(diǎn)的三角形何時(shí)與△OCD相似？（只考慮以點(diǎn)A、O為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的情況）

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)易求得；當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)8.5s時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程為8.5×2=17，那么此時(shí)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB上，且AD=5；根據(jù)AB的坐標(biāo)易知AB=10，那么此時(shí)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①當(dāng)D在線段OA上，即0＜t≤6時(shí)，以O(shè)D為底，C點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可得到△OCD的面積，也就求得了此時(shí)y、x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)D在線段AB上，即6≤t＜11時(shí)，由于△BCD和△OCD等底同高，所以△OCD的面積是△OBD的一半，只需求出△OBD的面積即可；△OBD和△OAB等底，那么面積比等于高的比，分別過(guò)D、A作OB的垂線，設(shè)垂足為M、N；易證得△BDM∽△BAN，那么兩條高的比即為BD、BA的比，易求得△ABO的面積由此得解；
③當(dāng)D在線段OB上時(shí)，O、A、D三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，故此種情況不成立；
（3）由D、E的運(yùn)動(dòng)速度及OA、AB的長(zhǎng)可知：D、E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總在OA、AB上；可分兩種情況：
①∠ODC=∠ADE，此時(shí)△ODC∽△ADE；②∠ODC=∠AED，此時(shí)△ODC∽△AED；
根據(jù)上述兩種情況所得到的比例線段即可求得t的值．
解答：解：（1）C（3，4），D（9，4）；

（2）易知：OB=AB=10；
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴點(diǎn)C到x軸的距離為4
①當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上，即0＜t≤6時(shí)，OD=2t；
則：S=OD×4=×2t×4=4t；
②當(dāng)D在線段AB上，即6≤t＜11時(shí)，BD=OA+AB-2t=22-2t；
過(guò)D作DM⊥OB于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OB于N；
則△BMD∽△BNA，得：===；
易知S_△OAB=48；
∵S_△ODB：S_△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S_△OBD=S_△OAB•=（11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S_△BCD，即S=S_△OBD=（11-t）=-t+；
③當(dāng)D在線段OB上時(shí)，O、C、D三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；
綜上可知：當(dāng)t=6時(shí)，S最大，且S_max=24；

（3）當(dāng)0≤t≤5s時(shí)，D在線段OA上運(yùn)動(dòng)，E在線段AB上運(yùn)動(dòng)；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①當(dāng)△OCD∽△ADE時(shí)，=1，∴OC=AD，即12-2t=5，t=；
②當(dāng)△OCD∽△AED時(shí)，，即，解得t=；
綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，兩個(gè)三角形相似．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，需注意的是（2）（3）都要根據(jù)不同情況分類討論，以免漏解．