Question

已知，拋物線y=ax²+bx+c，過(guò)A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），M為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M兩點(diǎn)．且與x軸交于點(diǎn)E．△AEC的面積與△BCM的而積是否相等？如果相等，請(qǐng)給出征明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)⊙P的半徑為m．①若⊙P與直線CM相切．并且與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍；②若⊙P經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與直線CM相切于點(diǎn)F，求切點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)交點(diǎn)式或待定系數(shù)法就可以求二次函數(shù)的解析式，
（2）根據(jù)公式或配方法可以求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，把頂點(diǎn)坐標(biāo)和C點(diǎn)代入函數(shù)y=kx+b就可以求出k，b的值，進(jìn)而得出三角形面積關(guān)系；
（3）①分別利用當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
②利用切割線定理得出，EF=2

3

，F(xiàn)G=

6

，EG=

6

，結(jié)合①中兩種情況，進(jìn)而得出答案即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c，過(guò)A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴假設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（x+1）（x-3），
將（0，-3）代入得：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（ 2）如圖所示：
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，-4），
∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M兩點(diǎn)，
∴

k+b=-4 b=-3

，
∴

k=-1 b=-3

，
∴一次函數(shù)解析式為：y=-x-3，
當(dāng)y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
S_△AEC=

1

2

AE•CO=

1

2

2×3=3，
S_△BCM=S_△BEM-S_△BEC=

1

2

×6×4-

1

2

×6×3=3，
所以成立；

（3）①設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸直線x=1上，
先考慮與x軸相切，則點(diǎn)P的位置有兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EM于G．（如圖1）
PG=PD=m．PM=4-m，
EM=4

2

，
△PGM∽△EDM，m=4（

2

-l），
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)．
過(guò)PG⊥EM于G，（如圖2），PG=PD=m，
PM=4+m，
同理△EDM∽△PGM，
m=4（

2

+1），
4（

2

-1）≤m≤4（

2

+1）；
②（如圖3）連接PF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EB，
∵⊙P經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與直線CM相切于點(diǎn)F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割線定理）
∴EF=2

3

，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=

6

，EG=

6

，
OG=OE+EG=3+

6

，
連接PF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EB，
∵⊙P經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與直線CM相切于點(diǎn)F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割線定理）
∴EF=2

3

，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=

6

，EG=

6

，
OG=OE-EG=3-

6

，
∴F（

6

-3，

6

）或F（-3-

6

，-

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定以及切割線定理等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想得出是解題關(guān)鍵．